引っ越し（乗り換え）の際に現在のプロバイダ（ホスティング事業者）との契約はどうしたらよいのでしょう。

ドメインを移転する場合、ドメイン名に関連付けらているネームサーバ情報の書き換えが必要となります。
ただし、現在のネームサーバから弊社のネームサーバへ書き換わったという情報は、徐々にインターネットへ広まって行きます。
このため、情報が広まっている途中では、一時的に新旧両方のサーバにアクセスがある状態となります。

この点を考慮して、弊社への移転が完了した後は、最低2週間程度は現在のプロバイダ（ホスティング事業者）のサービスを併用することをお勧めします。